高等代数 🔗

3Blue1Brown的系列视频 线性代数的本质

矩阵的几何意义

矩阵是空间的一次变化

行列式的意义： 经矩阵变化后， 平面单位面积的缩放倍数

线性规划 simplex 单纯形法

• 研究对象

初中， 方程，一元一次方程。ax+b = c。 一元二次方程，求根公式。

一元高次方程的求根

n元线性方程组， 矩阵消元法，增广矩阵经过初等行变换，变为阶梯形矩阵。

二元一次方程。

行列式，矩阵，初等变换，线性方程组求解。

高斯消元法 --初等变换--》 阶梯形方程组 --》 非零行的行数为矩阵的秩

解的情况判定和解的结构 矩阵的秩与解的关系

矩阵的特征值和特征向量，几何意义 相似矩阵，相似对角化，二次型的标准型与规范型 合同变换，合同矩阵。 正交矩阵，正交变换

抽象代数（近世代数） 🔗

代数结构 = 集合 + 运算

幺半群 monoid 🔗

定义：二元运算满足结合律，具有单位元

满足交换律的幺半群称为交换幺半群

同态： 保持运算， 同构：一致的运算， 双射（元素之间一一对应）

群 🔗

(G, *) 是群， =》 封闭性，结合性，单位元(幺元)，逆元

有限群的元素个数为群的阶，

交换群(阿贝尔群)，满足交换律

子群，构造子群

子群-〉陪集(对集合的划分) -〉拉格朗日定理 -〉 正规子群 -〉商群

生成元generator -〉循环群， 一定是阿贝尔群

galois理论，一元五次方程的求根公式是否存在？ 引起的。 阿贝尔。

环Ring 🔗

(R, +, *)为环满足3个条件：(R, +)是交换群， (R, *)是半群 满足封闭性和结合律， +, *满足分布律

域，有限域 🔗

整除 🔗

b｜a 表示 a=Nb or b是a的因子，b整除a， or a是b的倍数

素数 prime 🔗

算术基本定理： 任何一个整数都可以分解成一系列素数的乘积的形式。$$ n = (p_1)^e_1 ...(P_r)^e_r $$ 欧几里得定理： 素数有无穷个。

模运算 mod 🔗

a mod b 表示 a = Nb + r, a mod b === r

最大公约数 🔗

gcd(a, b) = x : x｜a 且 x|b ，所有公因子中最大的。
欧几里德算法， 辗转相除法求最大公约数

a = Nb + r
gcd（a,b）== gcd(b,r)

func gcd(a, b int) int {
    if b == 0 return a
    if b > 0 {
        return gcd(b, a%b)
    }
}

a和b互素的定义： gcd(a, b) = 1。

最小公倍数 🔗

lcm（least common multiple） $$ lcm(a,b) = ab / gcd(a,d) $$

• 偏序关系
  • 集合之间的包含关系
  • 实数之间的小于等于关系
  • 实数之间的大于等于关系
  • 整数之间的整除关系

同余 🔗

等价关系：需要满足自反，对称，传递的关系。

a=== b mod n , a 和 b在mod n下满足同余关系, 同余是描述的关系，不是运算。

中国剩余定理， 欧拉函数(0-n-1中与n互素的数的个数)， 欧拉定理， 费马小定理

乘法逆元modular inverse

陪集。

群 🔗

代数结构（集合， 运算）。 群： 封闭，结合律， 单位元，逆元

群同态 （G， *） --f--> (G', X)
元素之间的运算仍可以得到保持 $$ f(a * b) = f(a) X f(b) $$

循环群

自反：

反对称：

R是集合A上的关系，如果R是自反的，反对称的，传递的，R是A上的一个偏序或者半序。

• 偏序集合